La sezione aurea ed il numero aureo

La sezione aurea di un segmento è la parte media proporzionale tra il segmento e la sua parte rimanente

A B : AC = AC :  CB                                          AB = s               AC = x          CB = s-x

s : x = x : ( s-x)

risolvendo l’equazione x2 +sx-s2 =0 si ottiene :

x = s (Ö 5 - 1 )/2

quindi

x /s= ( Ö 5 - 1 )/2 = 0,618

ma anche x/s=(s-x)/x ossia la parte più grande è la sezione aurea di tutto il segmento , mentre la parte più piccola è la sezione aurea della più grande : magia!!

La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r è la sezione aurea del raggio e costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a 5 punte che i Pitagorici chiamarono pentagramma e considerarono simbolo dell’armonia ed assunsero come loro segno di riconoscimento , ottenuto dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no . A questa figura è stata attribuita per millenni à un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea n da cui è nata

Infatti i suoi lati si intersecano sempre secondo la sezione aurea :

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AB : AC = AC : CB

La sezione aurea ha una funzione di grande rilievo nell’espressione della bellezza , per cui fu definita aurea nel Rinascimento.

Il matematico Luca Pacioli (1445-1510) scrisse su di essa un trattato intitolato " De divine proportione " illustrato con figure di Leonardo da Vinci , mostrando sue notevoli applicazioni in campo artistico .Egli sostenne che senza questa proporzione "moltissime cose de admiratione dignissime in philosophia nè in alcuna altra scientia mai a luce poteriono pervenire"Il suo entusiasmo per la sezione aurea fu tale da indurlo a metterla in relazione con la Divinità perchè anch’essa è una e trina(3 segmenti sono necessari per la costruzione )

Luca Pacioli               L'uomo vitruviano di Leonardo

Se disegniamo un rettangolo in cui il rapporto tra l’altezza e la base sia la sezione aurea otteniamo il più bello , armonico rettangolo tra gli infiniti rettangoli che si possano disegnare e questo spiega la frequenza con cui esso compare in arte

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.

AB : AC = AC : CB                                 AC = AD

Ripetendo la costruzione di un quadrato di lato la sezione aurea dell'altra dimensione del rettangolo si ottengono tanti rettangoli in cui il rapporto tra le due dimensioni è sempre la sezione aurea

CB=BF

BE : BF = BF : FE

infatti

se AB : AC = AC : CB                       CB = AB -AC

AB : AC = AC : ( AB-AC) ma anche invertendo antecedenti e conseguenti

AC : AB = ( AB-AC ) : AC applicando la proprietà dello scomporre

AC : ( AB-AC) = (AB-AC) : ( AC-CB) quindi siccome                                                                  AB-AC=BF

                                                                 AC= BE

                                                                 CB= BF

                                                    AC-CB = BE-BF=FE

quindi BE : BF = BF : FE

 Questa costruzione ricorda un’altra caretteristica della sezione aurea: il rapporto tra un numero di Fibonacci f(n) ed il successivo f(n+1) tende al crescere di n alla sezione aurea :

                                                                         Leonardo Pisano detto Fibonacci :clicca per approfondimenti sui numeri di Fibonacci   

                                      per approfondimenti clicca sull'immagine di Fibonacci

I numeri di Fibonacci : formula ricorsiva per calcolarli : f(n) = f(n-2) +f(n-1)

1      1     2       3     5     8       13      21        34      55       89        144     233

Calcoliamo il rapporto f(n-1)/f(n) e disponiamo i risultati in due colonne

1/1 = 1                                            1/2= 0,5                         

2/3 =0,66                                        3/5= 0,6

5/8= 0,625                                    8/13= 0,615385

13/21= 0,619048                        21/34=0,617684

34/55=0,618182                          55/89=0,617978

89/144=0,618056                      144/233=0,618026

la prima colonna decresce e la seconda cresce ma entranbe tendono a 0,618033988 che è il valore della sezione aurea (Ö  5 - 1 )/2