E' nato a Varsavia nel 1924 ed ha
studiato all'Ecole Politecniche di Parigi , al California Institute of Technology e
all'Università di Parigi , dove si è laureato in matematica.
Nel 1958 ha iniziato la collaborazione con l'IBM, poi è
stato professore di
matematica alla Harvard University.
Tra i numerosi riconoscimenti che gli sono stati assegnati ,spicca la
F.Barnard Medal della National Accademy of Sciences della Columbia University
La più completa esposizione della sua ricerca è racchiusa nel volume "The
fractal geometry of nature"(S.Francisco 1982)
E' morto nell'ottobre del 2010.
Introduzione
alla geometria dei frattali
Nel 1979 Benoit Mandelbrot descrisse in termini grafici
forme e processi naturali, rappresentando oggetti dai contorni molto frastagliati e
complessi , attraverso rigorosi metodi matematici.
Nasceva quella branca della
Matematica che Mandelbrot chiamò Geometria dei Frattali.
Essa è capace di rappresentare i profili di una montagna o di una costa,
le nuvole , le strutture cristalline e molecolari, e addirittura le galassie.
La parola "frattale" definisce una rappresentazione grafica
composta di linee spezzate (da latino "fractus") dall'andamento apparentemente
irregolare ,che sono in sostanza delle strutture matematiche , capaci di esprimere
comportamenti variabili in spazi anche molto piccoli.
Inoltre i frattali hanno sempre una dimensione fratta , non intera.
Essi sono forme geometriche le cui parti , anche minime , contengono
un'infinita ricchezza di dettagli.
Con i frattali si costruiscono modelli matematici semplici di oggetti
complessi , come spugne ,fiocchi di neve , foreste.
Vi sono molti tipi di frattali , ma tutti hanno una cosa in comune :
generano forme spaziali complesse da regole semplici.
Ogni dettaglio del frattale riproduce la forma del tutto (proprietà di
autosomiglianza)
Insieme di Manderbrot Insieme di
Julia
Proprietà
Autosomiglianza
: ogni dettaglio di un frattale riproduce la forma del tutto
Georg Cantor nacque
il 3 marzo 1845 a Pietroburgo (odierna SanPietroburgo)
Il padre era un commerciante di successo e un luterano convinto che
inculcò nel figlio profonde convinzioni religiose.
Quando Georg era ancora bambino ,la famiglia si trasferì dalla Russia in
Germania e fu lì che cominciò a studiare matematica.
Nel 1868 ricevette il dottorato presso l'Università di Berlino con una
dissertazione sulla teoria dei numeri.
Nel 1872 Cantor puntò la sua attenzione sulla relazione tra punti della
retta e numeri reali
Nel 1874 mise a punto la teoria degli insiemi infiniti superando il
paradosso di Galileo per cui vi sono tanti numeri pari quanti numeri pari e dispari
insieme, perchè si possono mettere in corrispondenza biunivoca l'insieme dei numeri pari
con N (insieme dei numeri naturali)
2 n ---> n
Cantor superò tale paradosso trasformandolo nel mezzo per definire le
dimensioni degli insiemi infiniti (vedi insieme dei numeri naturali ) introducendo il
concetto di equipotenza e di numerabilità :
L'insieme dei numeri naturali N
L'insieme dei numeri naturali rappresenta il primo esempio di insieme
numerico infinito.
Due insiemi S e T si dicono equipotenti se esiste una
corrispondenza biunivoca di S su T
(ad ogni elemento di S corrisponde uno ed un solo elemento di T)
Un insieme si dice numerabile se è equipotente ad N
N è un insieme numerabile
Si dice anche che un insieme numerabile ha la potenza del numerabile(aleph-zero):| S | = | N |
N ha potenza aleph-zero
L'insieme dei numeri pari rappresenta un insieme numerabile:
2n--> n
L'insieme dei numeri dispari rappresenta un insieme numerabile:
2n+1--> n
L'insieme dei quadrati dei numeri interi rappresenta un insieme
numerabile:
n
2--->n
Dimostrò inoltre che l'insieme dei numeri razionali
è numerabile
Insieme dei numeri razionali
Un numero razionale è un numero che può essere messo nella forma fratta
a/b con a e b elementi di N
Cantor dimostrò che l'insieme dei numeri razionali è numerabile mediante il
procedimento di diagonalizzazione : sopra ogni numero razionale è
segnato il relativo numero naturale associato
Galois era nato nel villaggio di Bourg-la-Reine alle porte di Parigi ,dove
suo padre era sindaco.
I suoi genitori non avevano nessuna propensione per la matematica , ma
Evaristo dimostrò presto di essere un genio matematico , anche se eccentrico
A 16 anni sperava di essere ammesso all'Ecole Polytecnique , ma a causa
della sua preparazione non sistematica , venne respinto.
A 17 anni Galois presentò a Cauchy una sua memoria su alcuni argomenti
fondamentali di matematica , ma Cauchy smarrì il suo scritto.
Finalmente anni dopo Galois riuscì ad entrare all'Ecole Normale e si
dedicò all'insegnamento.
Nel 1830 presentò una sua memoria per il premio di matematica bandito
dall'Accademie Fourier si portò a casa il lavoro di Galois ma morì poco dopo ed il
lavoro andò smarrito.
Una terza volta Galois cercò di presentare una memoria all'Accademie ,
tramite Poisson , che trovò il lavoro incomprensibile .
Poco tempo dopo si trovò coinvolto in un duello e la notte precedente ,
presagendo una fine tragica,scrisse ad un amico una lettera in cui annotò appunti di
matematica sperando che venissero pubblicati sia pure postumi .
Morì a causa delle ferite riportate nel duello : aveva appena 20 anni.
Galois si interessò a molti problemi di algebra e soprattutto alle
strutture algebriche , specie al concetto di gruppo.
Nicolaj Ivanovic Lobacevskij , grande
matematico russo , figlio di un funzionario governativo, fu mandato a studiare
nell'Università di Kazan .
A 21 anni era già membro del corpo insegnante , nel 1827 fu nominato
Rettore dell'Università di Kazan dove svolse per tutta la sua vita attività didattica e
di ricerca.
Negli anni dal 1826 al 1829 si convince che il 5° postulato di Euclide
non può essere dimostrato sulla base degli altri 4 ed in un articolo del 1829 arriva a
formulare una nuova geometria non euclidea
partendo dalla negazione del 5° postulato ossia accettando come
postulato che per un punto che non giace su di una retta AB vi passa più di una retta
parallela ad AB : da questo postulato costruisce tutta la geometria non euclidea che
risulta coerente e non contraddittoria .
E' una geometria così sconvolgente che lo stesso Lobacevskij la chiamò
geometria immaginaria e poi pangeometria universale .
Nei suoi "Studi geometrici sulla
Teoria delle Parallele" pone le basi della sua geometria non euclidea: nella
proposizione 16 dice:
Relativamente ad una data retta di un piano , tutte le rette tracciate da
un medesimo punto si possono distribuire in due classi, cioè: in rette che tagliano la
retta data e in rette che non la tagliano .La retta che forma il limite comune di queste
due classi è detta parallela alla retta data .
Sia abbassata dal punto A sulla retta BC la perpendicolare AE alla retta
AD . Nell'angolo retto EAD tutte le rette che partono dal punto A incontreranno la retta
DC ,come AF , oppure alcune di esse ,come AE , non incontreranno DC.Poiché la situazione
non è chiara ,allora diciamo che ,se la perpendicolare AE è la sola retta che non
incontra DC , noi ammettiamo la possibilità che esistano anche altre linee come AG che
non tagliano DC , per quanto le si voglia prolungare .Passando dalle linee come AF,che
tagliano DC , alle linee come AG che non tagliano DC , si troverà necessariamente una
linea AH che è parallela a DC: cioè una linea dal lato della quale le linee AG non
incontreranno DC.
L'angolo HAD è detto angolo di parallelismo P(p) dove p=AD
Se P(p)=90° tutte le rette ad eccezione di EE'(unica parallela a CB)
dovranno tagliare CB.
Se P(p)<90° allora dall'altro lato di AD , si avrà un'altra retta AK
che forma con AD lo stesso angolo DAR = P(p) la quale sarà parallela al prolungamento DB
della linea DC .
Tutte le altre rette comprese all'interno dei due angoli retti diretti
verso BC,appartengono alle rette secanti quando esse siano situate nell'angolo HAK = 2P(p)
delle due parallele : al contrario appartengono alle rette non secanti come AG quando
siano situate dall'altro lato delle parallele AH ,AK ,all'interno dei due angoli
EAH=90°-P(p) , EAK=90°-P(p)
fra le parallele e la retta EE'. Dall'altro lato della perpendicolare EE',
i prolungamenti AH' e AK' delle parallele AH e AK saranno ugualmente parallele a BC.Fra le
altre rette quelle che sono nell'angolo K'AH 'apparterranno alle rette secanti , quelle
che sono negli angoli K'AE, H'AE'alle rette non secanti.
Pertanto ,se si suppone P(p)=90°, ,le rette non potranno essere che
secanti o parallele .Ma se si ammette che P(p)<90° allora si dovranno considerare due
parallele, una in un verso , l'altra nel serso opposto:in più le altre rette dovranno
essere distinte in non secanti e secanti. In tutte e due l'ipotesi , il carattere del
parallelismo è che la linea diventa secante con la minima deviazione verso il lato dov'è
situata la parallela; di modo che ,se AH è parallela a DC ogni linea AF che ,dal lato di
DC,fa con AH un angolo HAF piccolo quanto si vuole , taglierà necessariamente DC.
Una conseguenza di tale impostazione è la proposizione 19:
In ogni triangolo rettilineo la somma dei tre angoli non può superare due
angoli retti .
Suo padre era operaio e cercò di impedire al figlio di studiare , ma la
madre lo incoraggiò sempre e fu molto orgogliosa dei suoi successi . Da fanciullo Gauss
frequentò la scuola locale , dove l'insegnante aveva fama di essere molto esigente : un
giorno per tenere occupati gli alunni assegnò loro l'esercizio di sommare tutti numeri da
1 a 100 , chiedendo a ciascuno di deporre la lavagnetta sulla cattedra appena finito il
calcolo ; quasi immediatamente Carl depose la lavagnetta su cui aveva scritto solo il
risultato corretto 5050 : il ragazzo (10 anni ) aveva utilizzato la formula n(n+1)/2 per
il calcolo .
A 15 anni si iscrisse all'Università di Gottinga , in quell'epoca aveva
già sviluppato i fondamenti del metodo dei minimi quadrati ( 10 anni prima che Lagrange
pubblicasse il suo)
Da oltre 2000 anni si sapeva come costruire con riga e compasso poligoni
regolari con 3 e 5 lati , ma non con altri numeri primi,Gauss costruì con riga e compasso
il poligono regolare con 17 lati.Era il 30 marzo 1796 e da quel giorno Gauss annotò in un
diario ogni scoperta .
Il 10 luglio scoprì che ogni numero intero è la somma di non più di 3
numeri triangolari e lo annotò sul diario .
Questo diario di sole 19 pagine rappresenta un prezioso documento per la
storia della matematica : vi sono appuntati 146 risultati brevemente formulati e questo
permette di assegnare a Gauss la paternità di molti risultati rivendicati da altri
matematici , inoltre era riluttante a pubblicare i suoi lavori
,
quindi il diario è l'unica
fonte.
Solo nel 1901 il diario fu pubblicato da Klein per il 150 ° anniversario
della Fondazione della Società Scientifica di Gottinga.
Gauss voleva che sulla sua tomba vi fosse disegnato il poligono regolare
di 17 lati, ma lo scalpellino pensava che un poligono simile si sarebbe confuso con un
cerchio e non assecondò il desiderio del matematico .
Gauss è il padre della rappresentazione geometrica dei numeri complessi
e dell'algebra delle congruenze . Introdusse per primo il simbolo della
congruenza
Si interessò anche di astronomia e fu in grado di calcolare l'orbita
dell'asteroide Cerere che ricomparve nel cielo proprio dove Gauss aveva
ipotizzato.Ricoprì per 40 anni la carica di direttore dell'Osservatorio Astronomico di
Gottinga,preferendola a quella di professore di matematica all 'Università di Gottinga
perchè pare che non amasse insegnare , ma solo seguire pochi brillanti e devoti studenti.
Tedesco, famoso professore di Gottinga , nel 1900 presentò una relazione
in cui propose 23 problemi che avrebbero impegnato i più grandi matematici del XX secolo.
I primi due problemi riguardavano la teoria degli insiemi infiniti :
1) Esiste un numero transfinito compreso tra la potenza del numerabile e
quella del continuo ?
2) L'insieme R dei numeri reali è ben ordinato ?
( ossia ogni sottoinsieme di R possiede un primo elemento?)
Cantor , Godel provarono a dare delle risposte :
Cantor ipotizzò che non esiste un numero compreso tra la potenza del
numerabile e quella del continuo mentre Godel dimostrò che si può accettare o negare
quest'ipotesi senza alterare la coerenza degli assiomi della teoria degli insiemi infiniti
Inoltre Hilbert si interessò anche di geometria:
Egli è il padre della geometria assiomatica.
Per costruire tale geometria parte da 3 oggetti indefiniti: punto , linea
, piano,6 relazioni indefinite : essere su essere in , trovarsi tra , essere congruente
con , essere parallelo a , ed essere continuo.
Al posto degli assiomi e dei 5 postulati di Euclide , egli formulò 21
assunzioni, noti come assiomi di Hilbert.
Di questi 8 riguardano la relazione di incidenza e comprendono il 1°
postulato di Euclide ,4 contengono le proprietà di ordinamento,5vertono sulla
congruenza,3 riguardano la continuità ed un assioma coincide con il 5° postulato di
Euclide.
Hilbert si interessò anche alla matematica pura : studiò una curva
ottenuta partenda da un quadrato e suddividendolo in 4 quadrati più piccoli , e ognuno di
questi in 4 ancora più piccoli ecc.. , e congiungendo il centro del primo quadrato in
basso a sinistra con tutti gli altri centri per arrivare a quello in basso a destra ,
senza intersezioni e senza ripassare due volte per la stessa strada.
Continuando all'infinito tale processo la curva passerà per tutti i punti
del quadrato di partenza.Tale curva riempie il piano!!
Un'altra curva interessante è quella studiata da Helge von
Koch(1870-1924) , detta curva di Koch(vedi Frattali
Matematico austriaco , emigrato negli Stati
Uniti e divenuto membro dell'Institute for Advanced Studies di Princeton .
Nel 1931 dimostrò che all'interno di un sistema rigidamente logico è
possibile formulare proposizioni che sono indecidibili o indimostrabili nell'ambito degli
assiomi del sistema.
Ossia esistono all'interno del sistema asserzioni che non possono essere
né dimostrate né invalidate(teorema di incompletezza)
Tale teorema di Godel porta alla considerazione che è impossibile
arrivare alla certezza matematica ,ossia alla completa formalizzazione delle teorie
matematiche.
Con tale teorema Godel dimostrò che l'ipotesi di Cantor poteva essere
accettata ma anche negata per creare diverse teorie degli insiemi infiniti
Il nome di
Peano è legato ai cosiddetti "assiomi di Peano" ossia al tentativo di creare un
linguaggio formale per tutta la matematica
Il simbolismo ( per i concetti di appartenenza , unione, intersezione
ecc..) viene da Peano utilizzato felicemente per la sua aritmetica basata su tre concetti
primitivi : zero,numero,successivo di un numero.
5 sono i postulati di questa aritmetica:
1) Zero è un numero
2) Se a è un numero , il successivo di a è un numero
3) Zero non è il successivo di nessun numero
4) Se a=b il succ(a) = succ(b)
5) Se S è un insieme che contiene zero ed il successivo di ogni numero
contenuto in S , allora S contiene ogni numero
Lultimo postulato è il principio di induzione
Questo metodo assiomatico raggiunge un alto grado di precisione , senza
ambiguità.
Peano dedicò molti sforzi anche allo sviluppo della logica simbolica.
Nato a Parigi poche settimane dopo la presa della Bastiglia,era stato
educato all'Ecole Polytechnique dove Lagrange e Laplace si erano interessati ai sui studi
Fu professore all'Ecole Polytechnique,cattolico devoto e reazionario
convinto.Quando il re Carlo X andò in esilio , anche Cauchy lasciò Parigi per farvi
ritorno solo nel 1838.
Cauchy produsse una tale messe di libri e memorie da emulare Eulero.
Pubblicava subito qualsiasi risultato non appena l'aveva raggiunto:la
teoriadei determinanti , quella delle funzioni di una variabile complessa, il calcolo
infinitesimale , la derivata di una funzione come limite del rapporto incrementale
(chiamava i l'incremento della X ),la continuità di una funzione ,il concetto di
integrale definito usando una formulazione uguale a quella moderna
Matematico
irlandese, nato a Lincoln da povera famiglia , frequentò solo le scuole elementari , ma
studiò da autodidatta il latino ed il greco .
Divenuto maestro elementare, sentì che doveva ampliare le sue
conoscenze matematiche. Nel 1847 Boole pubblicò un libro intitolato " L'analisi
matematica della logica" , di importanza capitale per lo sviluppo del pensiero
logico-matematico.
Boole sviluppò la concezione che la matematica non doveva essere
considerata una scienza limitata ai numeri ed alle grandezze e che una trattazione
assiomatica che utilizzasse simboli , regole e leggi e che fosse coerente , doveva fare
parte della matematica e ciò era la logica formale dell 'algebra di Boole.
Boole morì nel 1864 ma prima della sua morte ricevette riconoscimenti
ufficiali per i suoi meriti di matematico , compreso un titolo onorario da parte
dellUniversità di Dublino
Contemporaneo di
Eulero ,ma più giovane di lui,Joseph Louis Lagrange fu italiano di nascita , francese di
discendenza , tedesco di adozione , parigino per scelta.
Il padre fu tesoriero di guerra del regno sabaudo , ebbe 11 figli , ma
Joseph fu l'unico a distinguersi.
Appena 19 enne fu chiamato all'Accademia delle Scienze di Berlino
Fu il primo a formulare un metodo di calcolo per le derivate , usando per
primo il simbolo f ' (x) . Contribuì allo studio della teoria dei numeri con il teorema
per cui :
ogni intero positivo è la somma di non più di 4 quadrati perfetti
Leonhard Euler ,
Eulero, nacque a Basilea.Il padre era un pastore protestante e sperava che il figlio
abbracciasse la carriera ecclesiastica, ma il giovane Eulero ,studiando sotto la guida di
Bernoulli ,appartenente ad una grande famiglia di matematici svizzeri, scoprì la propria
vocazione .
Ebbe comunque un'educazione di vasto respiro, studiando matematica,
fisica,medicina,teologia
e lingue orientali.
Caterina I di Russia aveva istituito l'Accademia ed Eulero venne chiamato
a ricoprire il ruolo di membro della sezione di medicina , ma proprio il giorno del suo
arrivo ,Caterina morì.
All'età di 26 anni Eulero si trovò ad essere il matematico più
importante dell'Accademia in Russia , dopo la partenza di Daniel Bernoulli,grande
matematico , per Basilea.
Sposatosi ,si dedicò alla ricerca matematica e ad allevare i suoi 13
figli.
Fu molto prolifico anche per quanto riguarda la sua produzione di scritti
e studi matematici , riusciva a scrivere le sue memorie matematiche anche mentre giocava
con i suoi bambini.
Eulero è stato il primo ad utilizzare i simboli e ,
p, ed i , come radice quadrata di -1 , anche se all'inizio Eulero aveva adoperato i
per rappresentare un numero infinito ossia ex=(1+x/i)i al posto di ex=lim (1+x/h)h per h tendente all'infinito.
L'equazione di Eulero e
pi +1 = 0 contiene i cinque simboli più
significativi della matematica.
Oggi usiamo i simboli introdotti da Eulero : a,b,c per i lati di un
triangolo , A,B,C per gli angoli opposti , lx per ln x , il simbolo di sommatoria ,la
notazione f(x) per la funzione di x.
Se gli Elementi di Euclide rappresentano la pietra miliare della
geometria,
Al jabr wal maqabalah pone i fondamenti dell'algebra, l'Introductio in
analysin infinitorum di Eulero è la chiave di volta dell'analisi .
Eulero fu il primo a considerare i logaritmi come esponenti , in maniera
moderna.Sua è la formula eix= cos x + i sen x
Nacque nel 1642 a
Woolstharpe nel Linconlshire;nel1661 entrò nel TRINITY COLLEGE di Cambridge,qui elaborò
il"calcolo delle flussioni",cioè il calcolo infinitesimale.Nel 1665-1666 tornò
a Woolsthorpe,a causa della peste,e qui ebbe per la prima volta l'idea della gravitazione
universale e si dice che questa idea gli venne meditando sulla caduta di una mela da un
albero sotto cui stava riposando.Subito dopo,abbandonata questa idea,approfondì gli studi
di otticae costruì un telescopio a riflessione.Intanto venne a conoscenza delle esatte
misure riguardo le dimensioni della terra,calcolate nel 1671 da Jean Picard e pubblicò
nel 1687 i
PHILOSOPHIA
NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA
dedicati alla Royal Society,di cui fu eletto presidente nel
1703.In quest'opera egli espose la sua teoria sulla gravitazione universale:immaginò che
fra i corpi si esercitassero forze attrattive che dipendevano solo dalla quantità di
materia di cui i corpi erano costituiti e dalla loro distanza.Queste forze modificavano lo
stato di moto e di quiete dei corpi,sottoponendoli ad una accelerazione proporzionale alla
loro intesità .Newton riuscì a riassumere tali idee formulando la legge di gravitazione
universale e i principi della dinamica.
Con la legge di gravitazione universale egli spiegò perchè i pianeti si
muovono su un'orbita ellittica.
F=G* m1*m2/r
2
G=costante di gravitazione gravitazionale.
FRA
DUE CORPI AGISCE UNA FORZA DI ATTRAZIONE F CHE E' DIRETTAMENTE PROPORZIONALE AL PRODOTTO
DELLE MASSE m1*m2 E INVERSAMENTE PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA LORO DISTANZA r.
Newton morì il 20 marzo del 1727 e fu sepolto nell'abbazia di
Westminster.
Per quanto riguarda la diatriba con Leibniz sulla paternità del calcolo
infinitesimale possiamo dire che Newton nella prima stesura dei Principia ammise che
Leibniz possedeva un metodo simile , ma nella terza edizione Newton eliminò il
riferimento a Leibniz.
Oggi è chiaro che la scoperta di Newton precedette quella di Leibniz di
circa 10 anni ma che d'altra parte la scoperta di Leibniz fu fatta indipendentemente da
quella di Newton : inoltre a Leibniz va riconosciuta la priorità di pubblicazione
Leibniz era
nato a Lipsia dove a quindici anni entrò all'Università e a diciassette conseguì il
grado di baccelliere. All'Università fece studi di teologia , legge,filosofia e
matematica .Entrò in diplomazia e fu presso gli Hannover per 40 anni.Viaggiò molto , nel
1672 a Parigi incontrò Huygens che gli suggerì di leggere Pascal per diventare un
matematico.In una prima visita a Londra nel 1673 fu eletto membro della Royal Society e
forse vide il manoscritto " De analisi "di Newton .
Huygens
aveva proposto a Leibniz di trovare la somma dei reciproci dei numeri
triangolari ossia 2/n(n+1)
Numeri triangolari :
1 3 6
10 15...
I reciproci :
1 1/3 1/6
1/10 1/15 ....
ossia 2/n(n+1) ma anche
2(1/n - 1/(n+1)) e la somma dei primi n numeri è
Sn= 2(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4...-1/n+1/n-1/(n+1))=
= 2(1-1/(n+1)) che tende a 2
Leibniz trovò che la serie convergeva a 2 .
Laboratorio
Questi programmi calcolano i numeri triangolari , i loro
reciproci , le somme n-sime dei reciproci dei numeri triangolari , e dimostrano che la
relativa serie tende a 2
program ntriang;
var n,i,k:integer;
s:real;
begin
writeln('quanti numeri triangolari vuoi?');
readln(n);
for k:=1 to n do
begin
s:=0;
for i:=1 to k do
s:=s+i;
write(s:8:0);
end;
end.
program recntria;
var n,i,k:integer;
s,sn:real;
risposta:char;
begin
writeln('quanti reciproci di n. triangolari vuoi?');
readln(n);
sn:=0;
for k:=1 to n do
begin
s:=0;
for i:=1 to k do
s:=s+i;
write('1/',s:1:0,' ');
sn:=sn+1/s;
end;
writeln('vuoi la somma dei primi ',n,'?');
readln(risposta);
if risposta='s' then writeln(sn:8:6);
end.
Studiò il triangolo di Pascal ed il
triangolo armonico trovando analogie e proprietà(vedi Pascal)
.Intuì che la tangente ad una curva
dipende dal rapporto delle ordinate e delle ascisse quando queste diventano piccolissime.
Nel 1676
Leibniz arriva alle stesse conclusioni a cui era arrivato Newton parecchi anni prima .E il
primo però ad adoperare i simboli dx,dy e il simbolo per l'integrale di una funzione
Pubblicò nel
1684 l'esposizione del calcolo differenziale .
Fu il primo
matematico ad adoperare il punto per la moltiplicazione,= per l'uguaglianza ,i simboli
moderni per la similitudine e per la congruenza, ed il concetto di funzione nel senso
moderno del termine.
Blaise Pascal fu un prodigio matematico.Il padre Etienne
tenne il giovane lontano dai libri di matematica per incoraggiarlo ad avere altri
interessi , ma quando il ragazzo all'età di 12 anni dimostrò un talento eccezionale il
padre assecondò la sua inclinazioneA 18 anni Blaise costruì una macchina calcolatrice e ne vendette una cinquantina.
La piccola Pascaline può essere considerata la prima macchina
calcolatrice , la modesta ma funzionale e ingegnosissima antesignana delle moderne
calcolatrici e calcolatori : per ogni 10 giri della prima rotella si ha 1 giro della
seconda ; ogni 10 giri della seconda si ha 1 giro della terza e così di seguito
Più tardi si interessò a problemi di idrostatica.
Nel 1654 rivolse di nuovo il suo interesse alla
matematica e scrisse " l'Opera completa sulle coniche ", utilizzando però
ancora la notazione sintetica e non quella simbolica .
Costruì il triangolo, detto poi di Pascal , noto
già 600 anni prima, ma ne rivelò nuove proprietà , usando il metodo di induzione
matematica
1 1 1
1 1 1 1 ....
1 2 3
4 5 6 ....
1 3 6
10 15....
1 4 10 20 ....
1 5 15 ....
1 6 ....
1
Metodo di
induzione matematica
Detta P(n) una proprietà che vale per i numeri
naturali
Se P(n) è vera per n=0 e
se P(n) vera implica che è vera P(n+1) ciò implica
che
P(n) è vera per ogni n
Laboratorio
Questi sono i listati di due programmi in Turbo
Pascal per la costruzione del triangolo di Pascal
Questo programma calcola i numeri
del triangolo di Pascal utilizzando la proprietà per cui ogni numero a(i,j) è la somma
dei primi j termini della riga i-1
program triangolo;
type mat=array[1..10,1..10] of real;
var a:mat;
k, n,i,j:integer;
s:real;
begin
for j:=1 to 10 do
begin
a[1,j]:=1;
write(a[1,j]:4:0,' ');
end;
writeln;
for i:=2 to 10 do
begin
for j:=1 to 10 do
begin
s:=0;
for k:=1 to j do
s:=s+a[i-1,k];
a[i,j]:=s;
write(a[i,j]:4:0,' ');
end;
writeln;
end;
end.
Questo programma calcola i numeri del triangolo di
Pascal utilizzando la proprietà per cui ogni numero
è dato dalla somma tra il numero della stessa
colonna ma riga precedente e il numero della stessa riga,colonna precedente ossia :
a(i,j) = a(i-1,j)+a(i,j-1) Per
lanciare il programma clicca qui
program triangolo2;
type mat=array[1..10,1..10] of real;
var n,i,j:integer;
a:mat;
begin
for j:=1 to 10 do
a[1,j]:=1;
for i:=1 to 10 do
a[i,1]:=1;
for i:=2 to 10 do
for j:=2 to 10 do
a[i,j]:=a[i-1,j]+a[i,j-1];
for i:=1 to 10 do
begin
for j:=1 to 10 do
write(a[i,j]:7:0);
writeln;
end;
end.
Triangolo armonico
1/1
1/2 1/3
1/4
1/5
1/6 .....
1/2
1/6 1/12
1/20 1/30 .....
1/3 1/12
1/30 1/60 .....
1/4 1/20
1/60 ......
1/5 1/30 .....
Questo programma calcola i numeri del triangolo
armonico utilizzando la proprietà per cui ogni numero è dato dalla differenza tra il
numero della stessa colonna ,riga precedente e il numero della riga precedente colonna
successiva ossia:
armo(i,j)=armo(i-1,j)-armo(i-1,j+1)
program triangoloarmonico;
type mat=array[1..10,1..10]of real;
var i,j:integer;
armo:mat;
begin
for j:=1 to 11 do
armo[1,j]:=1/j;
for i:=2 to 11 do
for j:=1 to 11 do
armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];
for i:=1 to 10 do
begin
for j:=1 to 10 do
if (j=11-i+1) or (j>11-i+1) then write(' ')
else
begin
write('1/',round(1/armo[i,j]));
if round(1/armo[i,j])>100 then write(' ')
else
if round(1/armo[i,j])<10 then write(' ')
else
write(' ');
end;
writeln;
end;
end.
Questo
programma verifica che la serie della prima riga del triangolo armonico diverge
all'infinito, mentre le serie di ogni riga isima convergono ad armo(i-1,1)
program triangoloarmonico;
type mat=array[1..100,1..100]of real;
var i,k,j,n:integer;
armo:mat;
eps,M,a:real;
begin
for j:=1 to 11 do
armo[1,j]:=1/j;
for i:=2 to 11 do
for j:=1 to 10 do
armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];
for i:=1 to 10 do
begin
for j:=1 to 10 do
if (j=11-i+1) or (j>11-i+1) then write(' ')
else
begin
write('1/',round(1/armo[i,j]));
if round(1/armo[i,j])>100 then write(' ')
else
if round(1/armo[i,j])<10 then write(' ')
else
write(' ');
end;
writeln;
end;
readln;
n:=10;
M:=5;
eps:=1/100;
repeat
for j:=1 to n+1 do
armo[1,j]:=1/j;
i:=1;
a:=0;
for k:=1 to n do
begin
a:=a+armo[i,k];
writeln('s[',i,',',k,' ]=',a:6:4);
end;
n:=n+1;
until(a>M);
writeln('la serie della ',i, ' riga tende a
+infinito ');
readln;
n:=10;
repeat
for j:=1 to n+1 do
armo[1,j]:=1/j;
i:=2;
for j:=1 to n do
if (j=n+1-i+1) or (j>n+1-i+1) then armo[i,j]:=0
else
armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];
a:=0;
for k:=1 to n do
begin
a:=a+armo[i,k];
writeln('s[',i,',',k,' ]=',a:6:4);
end;
n:=n+1;
until(abs((a-armo[i-1,1]))<eps);
writeln('la serie della ',i, ' riga converge ad ',
armo[i-1,1]:8:6);
readln;
n:=10;
repeat
for j:=1 to n+1 do
armo[1,j]:=1/j;
i:=3;
for j:=1 to n do
if (j=n+1-i+1) or (j>n+1-i+1) then armo[i,j]:=0
else
armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];
a:=0;
for k:=1 to n do
begin
a:=a+armo[i,k];
writeln('s[',i,',',k,' ]=',a:6:4);
end;
n:=n+1;
until(abs((a-armo[i-1,1]))<eps);
writeln('la serie della ',i, ' riga converge ad ',
armo[i-1,1]:8:6);
readln;
n:=10;
repeat
for j:=1 to n+1 do
armo[1,j]:=1/j;
i:=4;
for j:=1 to n do
if (j=n+1-i+1) or (j>n+1-i+1) then armo[i,j]:=0
else
armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];
a:=0;
for k:=1 to n do
begin
a:=a+armo[i,k];
writeln('s[',i,',',k,' ]=',a:6:4);
end;
n:=n+1;
until(abs((a-armo[i-1,1]))<eps);
writeln('la serie della ',i, ' riga converge ad ',
armo[i-1,1]:8:6);
readln;
n:=10;
repeat
for j:=1 to n+1 do
armo[1,j]:=1/j;
i:=5;
for j:=1 to n do
if (j=n+1-i+1) or (j>n+1-i+1) then armo[i,j]:=0
else
armo[i,j]:=armo[i-1,j]-armo[i-1,j+1];
a:=0;
for k:=1 to n do
begin
a:=a+armo[i,k];
writeln('s[',i,',',k,' ]=',a:6:4);
end;
n:=n+1;
until(abs((a-armo[i-1,1]))<eps);
writeln('la serie della ',i, ' riga converge ad ',
armo[i-1,1]:8:6);
readln;
end.
Nella notte del 23 novembre 1654 dalle ore 10.30
alle ore 12.30 Pascal ebbe un'estasi mistica che lo indusse ad abbandonare la scienza e la
matematica per dedicarsi alla teologia .
Ma una notte del 1658 un terribile mal di denti gli
impediva di dormire e per distrarsi e dimenticare il dolore rivolse di nuovo la sua
attenzione allo studio della cicloide: miracolosamente il dolore cessò e questo fu
interpretato da Pascal come un segno del Cielo che dovesse continuare ad interessarsi alla
matematica.
Pascal nei suoi studi arrivò ad un passo dalla
scoperta del calcolo infinitesimale , al punto che più tardi Leibniz doveva scrivere che
proprio leggendo l'opera di Pascal aveva avuto una improvvisa intuizione : se Blaise non
fosse morto così giovane avrebbe senza dubbio anticipato Newton e Leibniz nella loro
scoperta.
Lilavati,"la
bellissima", è il nome della figlia di Bhaskara che secondo la legenda non si sposò
a causa della credenza del padre nelle proprie previsioni astrologiche .
Bhaskara aveva previsto , in base ai suoi calcoli
astrologici , che sua figlia avrebbe potuto sposarsi ed essere felice soltanto in una
particolare ora di un dato giorno .Il giorno delle nozze , mentre la fanciulla sedeva
vicino ad un orologio ad acqua attendendo impazientemente lora del matrimonio , una perla
le cadde , inosservata , dal turbante e finì nellorologio , ostruendo lo scorrere
dellacqua . Quando la fanciulla se ne rese conto lora propizia per il matriminio era ormai
passata , così la ragazza rimase zitella e per consolarla il padre dette il suo nome al
libro di matematica che stava scrivendo .
Il più antico riferimento specifico alla
notazione indiana risale al 662 e compare negli scritti di Severo Sebokt ,vescovo siriano
.Dopo la chiusura delle scuole filosofiche ateniesi ordinata da Giustiniano , alcuni
filosofi e scienziati erano emigrati in Siria , dove avevano fondato centri di cultura
greca.
Sebokt , evidentemente offeso dal disprezzo per
ogni forma di cultura non greca manifestato da qualcuno di costoro ,ritenne opportuno
ricordare a coloro che parlavano il greco che "v'erano anche altri popoli che avevano
conoscenze scientifiche " e aggiungeva :"Voglio soltanto dirvi che questi
calcoli vengono effettuati per mezzo di 9 segni".
Che tale sistema di notazione fosse già in uso
da parecchio tempo è indicato dal fatto che il primo esempio indiano compare su un piatto
del 595 dove la data 346 è scritta in notazione posizionale decimale.
Va notato che il riferimento a 9 segni e non 10
implica che gli indiani non avevano ancora introdotto lo zero La prima comparsa dello zero
si trova in un'iscrizione del 876.
E' abbastanza probabile che lo zero abbia avuto
origine nel mondo greco forse ad Alessandria e sia stato trasmesso all'India dopo che vi
si era consolidato il sistema posizionale decimale.
Con l'introduzione nella notazione indiana ,
della decima cifra , un segno rotondo a forma di uovo per indicare lo zero , veniva
completato il moderno sistema di numerazione per gli interi
Il nuovo sstema di numerazione è basato su 3
principi fondamentali , tutti di origine molto antica:
1. una base decimale
2. una notazione posizionale
3. un simbolo diverso per ogni cifra.
Nessuno di questi principi venne originariamente
inventato dagli indiani , ma va riconosciuto loro il merito di aver per la prima volta
collegato i 3 principi a formare il sistema di numerazione moderno.
Tra i matematici indiani citiamo Aryabhata
vissuto intorno al 500 circa,Brahmagupta (628) vissuto nell'India centrale .Brahmagupta
cita due valori di p graco : il valore pratico 3 e il valore netto radice di 10 .
Forse il risultato più elegante nell'opera di
Brahmagupta è la generalizzazione della formula di Erone per trovare l'area di un
quadrilatero peccato che non si è reso conto che tale formula valeva solo per i
quadrilateri ciclici.
L'opera di Brahmagupta presenta il primo esempio
di aritmetica sistematica comprendente i numeri negativi e lo zero.
"Un numero positivo diviso per un numero
positivo , o un numero negativo per un numero negativo dà un numero positivo.Zero
diviso per zero non dà nulla. Un numero positivo diviso per un numero negativo dà un
numero negativo. Un numero negativo diviso per un numero positivo dà un numero negativo.
Un numero positivo o negativo diviso per zero
è una frazione avente per denominatore zero.
L'India produsse nel tardo Medioevo
numerosi , tra cui Bhaskara(1114-1185) .Fu lui che colmò alcune lacune presenti
nell'opera di Brahmagupta , prendendo in considerazione il problema della divisione per
zero: per la prima volta l'asserzione che tale quoziente è infinito.
"Enunciato : dividendo 3 , divisore 0 ,
quoziente la frazione 3/0 .Questa frazione il cui denominatore è zero , vien definita una
quantità infinita . In questa quantità , consistente in ciò che ha come divisore lo
zero , non v'è nessuna alterazione, anche se vi viene aggiunto o tolto molto . infatti
nessun mutamento ha luogo nella infinità e immutabilità di Dio
Questa affermazione suona promettente , ma
l'ulteriore asserzione di Bhaskara che a/0 * 0 = a mostra la mancanza di una
chiara comprensione del problema.
Il suo trattato , il Lilavati,
contiene numerosi problemi , ecco due esempi:
Il problema della canna di bambù spezzata
Popolare in Cina (trattato anche da
Brahmagupta)
Se una canna di bambù alta 32 cubiti viene
spezzata dal vento e la sua cima cade toccando il terreno a 16 cubiti dalla radice , a che
altezza si è spezzata ?
(R: 12 )
Il problema del pavone e il serpente
Un pavone è appollaiato su un palo alla
cui base c'è la tana di un serpente ; vedendo il serpente a una distanza dal palo tripla
dell'altezza del palo stesso ,il pavone si lancia sul serpente in linea retta prima che
possa raggiunger e la sua tana ; se il pavone e il serpente prima di incontrarsi hanno
percorso distanze uguali , a quanti cubiti dalla tana si incontrano ?
(problema indeterminato)
Lo
zero
Vale la pena di dire qualche parola sulla forma del simbolo indiano per lo
zero , forma che è anche la nostra.
Un tempo si riteneva che la forma tonda derivasse
dalla lettera greca omicron, che era l'iniziale della parola ouden ,vuoto. Studi più
recenti sembrano negare tale origine.
Sebbene il simbolo indicante una posizione vuota
che compare in alcune delle versioni esistenti delle tavole delle corde di Tolomeo sembri
simile a un omicron , i più antichi simboli per lo zero sono forme rotonde variamente
decorate e nettamente diverse dalla forma di un semplice uovo.
Gli sforzi di Galileo sono concentrati nei suoi due
trattati , entrambi scritti in italiano : il "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo" (1632) e i
" Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze"(1638)
Il primo era un dialogo tra tre interlocutori
intorno ai due sistemi tolemaico e copernicano del mondo ; Salviati , scienziato di
professione , Sagredo dilettante curioso ed intelligente e Simplicio ottuso aristotelico.
Nel Dialogo Galileo non nasconde le sue preferenze
che lo portarono al processo ed al confino .Durante gli anni del confino lavorò alla sua
seconda opera ,usando lo stesso schema di dialogo con gli stessi tre interlocutori
Galileo fu in grado di mostrare che la traiettoria
di un proiettile è una parabola . E' straordinario che le sezioni coniche fossero state
studiate per quasi 2000 anni prima che due di esse trovassero simultaneamente
un'applicazione nelle scienze : l'ellisse nell'astronomia e la parabola nella fisica.
Galileo aveva anche
studiato la cicloide , la curva descritta da un punto che si
muove su di un cerchio che rotola su di un piano orizzontale e cercò di calcolare l'area
racchiusa da un arco di tale curva.
Ma riuscì solo a tracciare la curva sulla carta,
ritagliare un arco e di pesarlo , concludendo che era di poco inferiore a 3 volte il
cerchio generatore
Alcuni matematici francesi ed italiani mostrarono
più tardi che l'area dell'arco era esattamente 3 volte l'area del cerchio generatore.
L'infinitamente piccolo aveva grande importanza per
Galileo :
nei Discorsi si dice che se piegare un segmento a
formare un quadrato o un ottagono equivale a dividere il segmento in 4 o 8 parti uguali ,
allora piegarlo a formare un cerchio significa dividerlo in infinite parti ossia 'con pari
licenza dire d'aver ridotto all'atto quelle parti infinite che voi prima , mentre era
retta , dicevi esser in lei contenute in potenza: infatti il cerchio è un poligono con
infiniti lati . Ma Galileo afferma anche che 'gli infiniti e gli indivisibili sono
incomprensibili dal nostro intelletto finito', quelli per la loro grandezza , questi per
la loro piccolezza.
Dall'infinito geometrico passa poi all'infinito
aritmetico considerando la corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei naturali e l'insieme
dei quadrati perfetti. Sebbene vi siano molti numeri che non sono quadrati perfetti ,
tuttavia 'nel numero infinito , se concepir lo potessimo , bisognerebbe dire , tanti
essere i quadrati quanti tutti i numeri insieme'
Galileo si trovava di fronte alla proprietà degli
insiemi infiniti di essere uguale ad una sua parte .(vedi Cantor )
Ma concluse erroneamente che non solamente non si
possa dire un infinito esser maggiore di un altro infinito , ma ne' che è sia maggior di
un finito
I discepoli di Galileo
Bonaventura Cavalieri
Allievo di Galileo , scrisse la Teoria degli
indivisibili basata sul principio che i solidi si possono immaginare decomposti in
infinite sezioni piane , come un libro risulta composto dalla sovrapposizione delle sue
pagine.
Il principio di Cavalieri sostiene l'equivalenza di
due solidi aventi sezioni piane corrispondenti equivalenti .
Evangelista Torricelli
Anche un altro italiano , allievo di Galileo ,
Evangelista Torricelli applicò la teoria degli indivisibili alle figure piane: una figura
piana poteva considerarsi un sistema continuo di infiniti segmenti paralleli (indivisibili
rettilinei)
Appare evidente che per trovare l'area di una figura
basterà sommare le infinite sezioni infinitesimali di cui tale figura è composta .
Questo è il primo approccio al concetto di
integrale
Detta l'Elena
della matematica a causa delle polemiche e controversie che scatenò tra i matematici del
tempo .
Nel 1615
Mersenne aveva richiamato l'attenzione dei matematici sulla cicloide, forse per averne
sentito qualcosa da Galileo suo corrispondente
Nel 1628 ne
parlò a Roberval che nel 1634 dimostrò che larea delimitata dallarco della curva è
esattamente 3 volte larea del cerchio generatore.
Roberval non
pubblicò le sue scoperte relative alla cicloide (che egli chiamava trocoide (da ruota) )
Nel frattempo
si era interessato alla cicloide anche Torricelli ,forse attraverso Galileo.
Nel 1643
Torricelli inviò a Mersenne la quadratura della cicliode e nel 1644 pubblicò "De
parabole" nella cui appendice inserì la quadratura della cicloide.
Nel 1646
Roberval accusò Torricelli di plagio
Oggi è
chiaro che la priorità della scoperta spetta a Roberval ma la priorità della
pubblicazione va a Torricelli il quale probabilmente rifece indipendentemente la scoperta
dell'area
Inoltre nel
1658 Sir Cristopher Wren fu il primo a dimostrare che la lunghezza della cicloide da
cuspide a cuspide è 4 volte il diametro del cerchio generatore .
Le proprietà
meccaniche della cicloide sono altrettanto notevoli:
Il pendolo
cicloidale (che oscilla tra due rami di cicloide ) descrive una cicloide ed è isocrono( i
tempi di oscillazione sono uguali con qualsiasi ampiezza ) (Huygens 1673).
Inoltre la
cicloide è tautocrona( curva di uguali tempi di discesa : qualsiasi sia il punto di
partenza di una sfera che cade lungo la curva capovolta , la sfera giungerà sul fondo
nello stesso tempo)(Huygens)
E'
anche brachistocrona (curva dei minimi tempi ) ossia la cicloide è la curva che congiunge
due punti A e B in modo che una sfera posta in A arriva in B lungo la curva nel minimo
tempo (Bernoulli 1696) per tornare a Galileo
In
realtà Fermat non era un matematico di professione , aveva fatto studi di diritto a
Tolosa dove era diventato avvocato: tuttavia ebbe il tempo di dedicarsi alla matematica ,
dando un valido apporto allo studio della geometria analitica studiando le coniche in
particolare .
E considerato il fondatore della moderna teoria dei
numeri .
Usava spesso una metodo di dimostrazione detta a discesa
infinita
Dimostrò anche che se un numero primo ha la forma
4n+1 esso è uguale alla somma di due quadrati .
es . 29 = 4 x 7+1
29=22+52
mentre 23 non ammette tale scomposizione
Famosissimo il Teorema di Fermat
Sappiamo che vi sono infinite terne pitagoriche per
cui vale:
a2 + b2 = c2
Questo risultato fa sorgere la domanda se si possano
trovare dei numeri interi per cui valga :
F) an +bn =cn
con n>2
Una risposta fu data da Fermat : nelle sue
annotazioni sui numeri pitagorici , asserì che l'equazione F) non ammette soluzioni
intere per n >2
Fermat era solito appuntare le sue dimostrazioni sui
margini del foglio su cui scriveva ,"
..ho scoperto una dimostrazione
veramente bella , però questo margine è troppo piccolo per poterla contenere"
ma
questa volta l'elegante dimostrazione che egli aveva trovato era troppo lunga per il
margine su cui stava scrivendo , per cui non ci è pervenuta.
Il teorema di Fermat è stato dimostrato per ogni
numero minore di 619, ma non per ogni n .
Solo recentemente è stata trovata la dimostrazione:
Il 23 giugno
del 1993 Andrew Wiles
annuncia di aver dimostrato l'ultimo
teorema di Fermat .
Nel 1955 due giapponesi Taniyama e Shimura avevano
formulato una congettura detta appunto Taniyama-Shimura Nel 1986 un americano Ken Ribet
dimostrò che se è vera la congettura Taniyama-Shimura allora è vero il teorema di
Fermat.
Wiles è riuscito appunto a dimostrare la congettura
Taniyama-Shimura e quindi il teorema di Fermat.
Una dimostrazione rigorosa ed attendibile è stata
pubblicata solo nel 1995 e con ciò si è concluso un capitolo affascinante e misterioso
della storia della Matematica.
Renè Descartes (1596-1650) era di famiglia
agiata e studio presso i Gesuiti .
Nel suo famosissimo trattato , il "Discours de
la methode pour bien conduire sa raison e chercher la veritè dans le sciences" 1637,
egli enunciava il suo programma di ricerca filosofica . Attraverso il dubbio sistematico
sperava di giungere a idee chiare . Nella Geometrie , che era un'appendice del Methode,
fece conoscere ai suoi contemporanei i principi della geometria analitica .
Lo scopo fondamentale di Cartesio non era quello che
gli attribuiscono i moderni , ossia di ridurre la geometria all'algebra , bensì come dice
egli stesso:
"Tutti i problemi della geometria si possono
facilmente ridurre a tali termini che in seguito per costruirli basta conoscere la
lunghezza di alcune rette"
Ciò che differenziava Cartesio da tutti i suoi
predecessori era la sistematicità con cui usava l'algebra simbolica e sviluppava la sua
interpretazione geometrica dell'algebra .
Forse l'unico
simbolo arcaico è a al posto di =
L'uso delle prime lettere dell'alfabeto per indicare
i parametri e delle ultime per le incognite , la notazione esponenziale , uso di + -
avvicinano la simbologia di Cartesio alla nostra , con una sola differenza , per Cartesio
tali simboli erano segmenti e non numeri
Il Libro I presenta la soluzione geometrica di
equazioni di 2° grado del tipo z2=az+b2
Egli propone "Così,volendo risolvere qualsiasi
problema ,si deve innanzi tutto considerarlo come risolto e si devono dare dei nomi a
tutte le linee che sembrano necessarie per la sua costruzione ...."
Il Libro II contiene la trattazione degli Ovali di
Descartes , luogo geometrico dei punti P in cui vale la proprietà : mD1+nD2=K con m,n
interi e K costante qualsiasi e D1 e D2 le distanze di P da F e F'
Cartesio ,famoso ed onorato in tutto il mondo , a
cinquantanni fu chiamato a Stoccolma dalla regina Cristina di Svezia , appassionatasi
alle sue opere.Si era nel 1646, ma solo 3 anni dopo Cartesio accettò l'invito .
Ricevette una accoglienza trionfale ,ebbe un lauto stipendio,ma la
vita nella capitale scandinava non gli piaceva troppo. Contro la sua regola prediletta,
era costretto talvolta ad alzarsi all'alba per le lezioni alla sua regale allieva; con lei
, forse,ci fu anche del tenero . Morì un anno dopo il suo arrivo in Svezia per
congestione polmonare.
Simbolismo
algebrico
Per quanto riguarda lo sviluppo del simbolismo
algebrico se ne possono individuare 3 stadi :
1) Algebra retorica - i problemi e la loro
risoluzione sono espresse completamente a parole
2)Algebra sincopata - in cui vengono usate
abbreviazioni
3) Algebra simbolica - in cui viene usato un sistema
totalmente simbolico
Questi 3
stadi non rispecchiano una netta suddivisione cronologiche ; infatti già Diofanto nel III
secolo d.C. usa abbreviazioni ( s per l'incognita ), mentre l'algebra di
al-Khowarizmi è tutta retorica ( l'incognita viene detta cosa o radice di una pianta , da
cui viene la parola radice per indicare la soluzione di un'equazione) .
Un esempio di algebra retorica di al-Khowarizmi:
cose uguale a numero
..............................ax=b
censi uguale a
numero..............................ax2=b
censi uguale a cose
...................................ax2=bx
censi e cose uguale a numero...................ax2+bx=c
cubo e cose uguali a numero....................x3+bx=c
Ma anche per l'algebra simbolica le cose non
andavano meglio perchè ogni autore usava simboli diversi :
( 1550-1617) non era un matematico di professione .
Era un ricco proprietario terriero scozzese di nobile famiglia .
Nepero stesso ci informa di aver lavorato alla sua
invenzione dei logaritmi per 20 anni fino a pubblicare nel 1614 la sua opera 'Mirifici
logarthmorum canonis descriptio' (Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi).
L'idea centrale su cui si basa l'invenzione di
Nepero è questa: per mantenere molto vicini i termini di una progressione geometrica di
potenze intere di un dato numero occorre che il numero sia molto vicino a 1 , Nepero
scelse
1-10-7 ossia 0,9999999 , per evitare
decimali moltiplicò ogni potenza per 107 ossia N=107(1-1/107)L
e chiamò L logaritmo di N .
In un primo tempo Nepero aveva chiamato i suoi
indici di potenze numeri artificiali ma più tardi coniò il termine
logaritmo dall'unione di logoV(ragione o rapporto) e aritmoV(numero)
Ricordiamo che (1-1/n)n per n =107
è vicino a 1/e =lim (1-1/n)n
Nepero fu il primo a pubblicare un'opera sui
logaritmi ma idee molto simili erano già state sviluppate dal matematico svizzero
Burgi che però pubblicò i suoi scritti 6 anni dopo Nepero.
Invece di partire come aveva fatto Nepero da un
numero un poco più piccolo di 1 (ossia 1-10-7) pensò di partire da un numero
un poco più grande di 1 (ossia 1+10-4) .
Ora (1+1/n)n con n = 104
risulta per quei tempi una buona approssimazione di e ( detto numero di Nepero) dove e =
lim (1+1/n)n
Leonardo
Pisano detto Fibonacci (figlio di Bonaccio)(1180-1250)
Il Fibonacci
scrisse il Liber abaci ,libro dell'abaco .
In realtà
non tratta dell'abaco ma discute in maniera esauriente metodi e problemi algebrici ,
difendendo decisamente l'uso delle cifre indio-arabiche e l'uso dello zero come cifra.
Il padre di
Leonardo era un mercante pisano che aveva affari nell'Africa settentrionale e il figlio
ebbe quindi modo di studiare sotto un maestro musulmano e di viaggiare in Egitto , in
Siria e in Grecia era pertanto naturale che Fibonacci venisse a contatto con i metodi
algebrici arabi , compreso il sistema di notazione indio-arabico e sfortunatamente la
forma di espressione retorica
Il Liber
abaci si interessa più dei numeri che della geometria : esso descriveva dapprima le nove
figure indiane assieme al segno 0 che in arabo viene chiamato zefiro
E da zephirum
e dalle sue varianti che sono derivati i nostri termini di cifra e di zero.
La sbarretta
orizzontale nelle frazioni era usata regolarmente da Fibonacci ( ed era nota già nota nel
mondo arabo ) ma fu solo nel XVI secolo che entrò nell'uso generale .
La sbarretta
inclinata fu suggerita nel 1845 dal matematico A.De Morgan.
Il Liber
abaci contiene un famoso problema, simile a quello contenuto nel papiro di Ahmes :
Sette
vecchie donne andarono a Roma , ciascuna
donna aveva sette muli ,ciascun mulo portava sette sacchi , ciascun sacco conteneva sette
forme di pane e con ciascuna forma di pane verano sette coltelli , ciascun coltello era
infilato in sette guaine.
Problema delle
7 vecchie (dal Liber Abaci di Leonardo Pisano )
Testo originale
Septem vetule vadunt roma ; quarum quelibet habet
burdones 7 ; et in quolibet burdone sunt saculi 7 ; et in quolibet saculo panes 7, et
quilibet panis habet cultellos 7, et quilibet cultellus habet vaginas 7.
queritur summa omnium predictorum.
Ma il problema che ispirò i futuri matematici era
il seguente:
Quante coppie di conigli verranno prodotte in
un anno a partire da ununica coppia se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova
coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?
Questo famoso problema dà origine alla serie di
Fibonacci :
1,1,2,3,5,8,13,21 dove f(n)=f(n-1)+f(n-2) e che
f(n-1)/f(n) tende alla sezione aurea
Problema delle due torri
(dal Liber Abaci di Leonardo Pisano )
Testo originale
In quodam plano sunt due turres , quarum una est
alta passibus 30, altera 40 et distant solo passibus 50 : infra quas est fons , ad cuius
centrum volitant due aves pari volatu,discendentes pariter ex altitudine ipsarum; queritur
distantia centri ab utraque turri.
Traduzione
Due torri , una alta 30 passi e l'altra 40 , sono
distanti 50 passi; fra esse si trova una fontana verso la quale due uccelli, scendendo
dalla sommità delle due torri , si dirigono con velocità uguale e vi pervengono nello
stesso momento ; quali sono le distanze orizzontali delle due torri dal centro della
fontana?
Soluzione algebrica
Fibonacci scrive (traduzione) :
Supponiamo che la fontana abbia dalla torre maggiore
distanza 10 ; 10 per se stesso è 100; che aggiunto al quadrato della torre maggiore ,
cioè 1600, dà 1700; il quadrato della distanza rimanente ( della fonte dalla torre
minore ) è 1600; che aggiunto al quadrato della torre minore , che è 900 , dà 2500.
Questa somma e la precedente differiscono di 800.
Bisogna allontanare la fonte dalla torre maggiore
.Per esempio di 5 , cioè in tutto di 15, il cui quadrato è 225 , che sommato al quadrato
della torre maggiore è 1825.
Ora si ha 35 per se stesso che è 1225, che aggiunto
al quadrato della torre minore è 2125.
Le due distanze differiscono ora di 300. Prima era
di 800. Quindi avendo aggiunto 5 passi abbiamo diminuito la differenza di 500.
Se moltiplichiamo 5 per 300 e dividiamo per 500 ,
otteniamo 3, che aggiunto a 15 passi dà 18. E tanto dista la fonte della torre maggiore.
Soluzione geometrica.
Fibonacci scrive :
40 e 30 sono 70 , la cui metà è 35, cioè la linea
ef. Le linee df e bf sono lunghe 25 ; la differenza tra 35 e la torre minore è 5 che
moltiplicato per 35 dà 175 , che diviso per la metà della lunghezza fra le due torri ,
cioè 25 , dà 7 ( per la linea fz).
Quindi dz vale 32 e rimane 18 per la linea zb
Problema del leone nel pozzo
(dal Liber Abaci di Leonardo Pisano)
Testo originale
Quidam leo est in quodam puteo, cuius profunditas
est palmis 50 ; et ascendit cotidie 1/7 unius palmi , et descendit 1/9 . Queritur in quot
diebus exierit de puteo.
Traduzione :
Il leone che era nel pozzo
Un certo leone si trova in un certo pozzo , profondo
50 palmi; sale ogni giorno di 1/7 di palmo e scende di 1/9.Si chiede in quanti giorni
uscirà dal pozzo.
Soluzione originale
Pone , ut exiret extra puteo in diebus 63; ideo quia
in 63 inuenitur et 1/9 1/7 : et uide quantum ascenderit leo ille , si descendendo in illis
63 diebus , ascendit enim septimas 63 unius palmi , que sunt palmi 9 ; et descendit
nouenas 63 ,que sunt palmi 7:quos extrahe de 9 , remanent palmi 2 ; et tot ascendit
amplius quam descendat in diebus 63.Vunde dices : pro diebus 63.
quos pono , ascendit palmos 2; quid ponam, ut
ascendat palmos 50: multiplica 63 per 50 , et diuinde per 2 , exibunt dies 1575 ; et tot
diebus leo exiet de puteo.
Traduzione
Ipotizza , per esempio , che sia uscito dal pozzo in
63 giorni; perciò in 63 si trovano 1/9 ed 1/7 : vedi di quanto sarà salito quel leone ,
se scendendo in quei 63 giorni , sale infatti della settima parte di 63 palmi , che
equivale a 9 palmi ; e scende della nona parte di 63 , che equivale a 7 palmi ; che se
sottrai da 9 , restano 2 palmi ; e di ciò sale più di quanto scenda nei 63 giorni.
Quindi dirai : nei 63 giorni che ipotizzo , sale di
2 palmi ; quale valore dovrò ipotizzare , perchè salga di 50 palmi ? Moltiplica 63 per
50 e dividi per 2 : risulta 1575 giorni ; e in tanti giorni il leone uscirà dal pozzo.
Noi oggi diremmo così:
Soluzione
Se il leone ogni giorno sale di 1/7 e scende di 1/9
, sale di 1/7-1/9=2/63 ogni giorno e quindi in 63 giorni sale di 2 palmi , in 63 X 25
=1575 giorni salirà di 50 palmi
Ma se consideriamo che l'ultimo giorno il leone sale
di 1/7 senza più scendere visto che è arrivato alla sommità del pozzo ,e che la sua
velocità è di 2/63, il tempo può essere calcolato così:
50 - 1/7
--------------- +1 = 1571,5 giorni
2/63
infatti 1570,5 x 2/63 = 49,85714286+1/7= 50
Quindi il leone esce dal pozzo nel 1572° giorno
(anche se 1572 giorni senza mangiare.....)
Il problema
del cane e della volpe
Testo originale
De cane et vulpe
Item si queritur de vulpe ,quae est ante canem
passus quinquaginta , et passus novem fugentis vulpe , sunt passus sex sequentis canis;
queritur in quantum ea consequet.
Traduzione
Il cane e la volpe
Allo stesso modo ci si interroga sulla volpe che è
davanti al cane 50 passi , e nove passi della volpe che fugge equivalgono a sei passi del
case che la segue . Si chiede in quanto tempo la raggiunge.
Soluzione
Se si intende che 9 passi della volpe corrispondono
a 6 passi del cane allora la velocità della volpe Vv è 2/3 della velocità del cane Vc e
quindi
Sc=Vc * t = 50 + Sv = 50 + Vv * t = 50 + 2/3 Vc * t
Vc * t = 50 + 2/3 Vc * t
1/3 Vc * t = 50
Vc * t = 150
Sc = 150
150 - 50 = 100 dopo 100 passi la volpe sarà
afferrata dal cane
(non si può calcolare il tempo senza sapere quanto
tempo impiega la volpe a fare un passo)
Problema dei due serpenti
Testo originale
Item est serpens in plano cuiusdam turris , que est
alta palmis 100; et ascendat cotidie 1/3 unius palmi,et descendit cotidie 1/4.In summitate
uero turrisest aliud serpens,qui descendit cotidie 1/5 et ascendit 1/6 ;queritur in quot
diebus infra turrim coniungentur.
Traduzione
I due serpenti
Un serpente si trova ai piedi di una torre che è
alta 100 palmi e sale ogni giorno di 1/3 di un palmo e scende di 1/4 .Ma sulla sommità
della torre cè un altro serpente che scende ogni giorno di 1/5 di palmo e sale di 1/6 .Si
domanda in quanti giorni si incontrano sulla torre.
Soluzione
Se si segue il ragionamento di Fibonacci:
1/3 - 1/4 = 1/12 = Va
1/5 - 1/6 = 1/30 = Vb
Sa=Va* t
Sb=Vb* t
Sa+Sb=100
(Va+Vb)t=100
(1/12 + 1/30)t=100
t=6000/7 =587.1428571 quindi i due serpenti si
incontrano nel 858° giorno
Ma se si considera che quando si incontrano non
devono più ridiscendere e risalire il ragionamento da fare è :
Sa
- 1/3
Sb - 1/5
ta = --------------- +1 = --------------- +1 = tb
1/12
1/30
(Sa - 1/3)12 = (Sb-1/5)30
Sa+Sb=100
Sb=601/21
t=853.57 i due serpenti si incontrano nel 854°
giorno
Problema
del leone , leopardo e orso
Testo originale
De leone et leopardo et urso
Quidam leo comadebat unam ovem in oris IIII ,et
leopardus in oris 5, et ursus in oris 6 ; queritur , si inter eos ovis una eiecta fueris ,
in quantis oris eam devoraverunt?
Traduzione
Il leone ,il leopardo e l'orso
Il leone mangia una pecora in 4 ore , il leopardo in 5 ore e
lorso in 6 ore:si domanda , se tra loro fosse gettata una pecora , in quante ore la
divorerebbero?
Soluzione
Il leone mangia in 1 ora 1/4 di pecora , il leopardo
1/5 e l'orso 1/6.
Insieme in 1 ora mangiano
1/4 + 1/5 + 1/6 = 37/60 di pecora
37/60 x 60/37 = 1 pecora in 60/37 di ora ossia 1h
37m 17s
Laboratorio
Ora i programmi per calcolare i numeri di Fibonacci
, i quadrati costruiti sui numeri di Fibonacci , i numeri di Padovan, i triangoli
equilateri con i numeri di Padovan ,il numero aureo, numero a cui tende il rapporto tra
due numeri successivi di Fibonacci.
program aureo;
(Questo programma calcola il numero aureo )
var n:real;
function fibo(n:real):real;
begin
if (n=1) or (n=2) then fibo:=1
else fibo:=fibo(n-1)+fibo(n-2);
end;
begin
Writeln('Calcolo dell''approssimazione del numero
aureo fi ');
writeln(' soluzione dell''equazione x= 1+1/x ');
writeln;
writeln('utilizzando i numeri di Fibonacci f(n) per
cui ');
Nicolò Fontana fu chiamato Tartaglia a causa di un
incidente occorsogli da ragazzo : fu ferito alla bocca da una sciabolata durante la
battaglia che portò alla caduta di Brescia nelle mani dei francesi nel 1512 e questa
ferita danneggiò le sue capacità di parlare .A questo matematico si attribuisce il
merito di aver trovato per primo la soluzione algebrica delle equazioni di 3° grado anche
se tale soluzione la si ritrova già nell'"Ars magna " di Gerolamo Cardano (1501-1576) nonostante egli avesse
promesso a Tartaglia di non divulgare il segreto sulla soluzione che Tartaglia aveva per
primo trovato per lasciargli il tempo di pubblicarla e diventare famoso.
Invece per quanto riguarda il triangolo detto di
Tartaglia per il calcolo dei coefficienti di (a+b)nesso è molto più
antico
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
........
Laboratorio
Questo è il programma per costruire il Triangolo di Tartaglia
PROGRAM TARTAGLIA;
VAR N,I,J:INTEGER;
RISPOSTA:CHAR;
FUNCTION COEFF( N,K:INTEGER):INTEGER;
BEGIN
IF (N=K) OR (K=0) THEN COEFF:=1
ELSE COEFF:=COEFF(N,K-1)*(N-K+1) DIV K;
END;
BEGIN
WRITELN('QUALE RIGA DEL TRIANGOLO DI TARTAGLIA VUOI
?');
READLN(N);
FOR I := 0 TO N DO
WRITE(COEFF(N,I) , ' ' );
WRITELN(' VUOI TUTTO IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA FINO
ALLA RIGA ', N,' ?');
Durante il califfato di al-Mamun
(809-833) gli arabi diedero libero sfogo alla loro passione per le traduzioni di testi di
scienze come l'Almagesto di Tolomeo e la versione completa degli Elementi di Euclide.
Il teorema di Pitagora dimostrato da Euclide nei suoi
"Elementi" tradotto dagli arabi
Al-Mamun fondò a Bagdad una "Casa del Sapere
paragonabile al Museo di Alessandria .
Fra i suoi membri il
matematico e
astronomo Mohammed ibn-Musa al-Khuwarizmi.
Egli scrisse due opere di aritmetica e algebra
, pervenuta a noi nella traduzione latina con il nome di "De numero indorum"(sul
calcolo numerico indiano) essendo andate perduta la versione originale araba.
In questa opera , basata presumibilmente su una
traduzione araba di Brahmagupta , al-Khuwarizmi presentava una esposizione così completa
del sistema di numerazione indiano che fu forse per causa sua se si diffuse l'errata
convinzione che il nostro sistema di numerazione sia di origine araba.
Quando cominciarono a circolare
traduzioni latine di quest'opera , lettori poco accurati attribuirono ad
Al-Khuwarizmi
l'originalità del sistema di numerazione .
Genealogia delle cifre
Nota
Da Al-Khuwarizmi deriva
la parola algoritmo procedimento costituito da una sequenza di istruzioni da
eseguire per risolvere un problema.
Dal titolo dell'opera più importante Al-jabr
wa'l muqabalah deriva la parola algebra.
I numeri venivano indicati con le lettere
dell'alfabeto.
Dell'opera ci sono pervenute due versioni , una
latina e una araba .
L'opera tratta delle equazioni di 2° grado , spurie
, pure e complete .
Al-aKhuwarizmi è considerato il padre dell'algebra
Di alcune equazioni dà una dimostrazione geometrica
Questa dimostrazione del teorema di Pitagora , attribuita a
Annairizi di Arabia , è nascosta nel mosaico arabo formato dai
quadrati dei cateti e, sovrapposto, da quello dell'ipotenusa . Di fianco la
dimostrazione estrapolata dal mosaico
I Maya occuparono un vasto territorio che comprende
la penisola dello Yucatan , alcune zone dello Chiapas e Tabasco , Guatemala , Belice ,
Honduras ed El Salvador
Grandi matematici ed astronomi hanno lasciato
affascinanti testimonianze .
La matematica dei Maya si basa su due punti
fondamentali:
l'introduzione dello zero ed il sistema di
numerazione in base 20
Avevano due modi di rappresentare le cifre ,
mediante disegni di teste e mediante punti e segmenti
Erone
Alessandrino è noto nella storia della matematica soprattutto per la formula che porta il
suo nome , relativa all'area del triangolo .
Gli arabi ci dicono che la cosiddetta formula di
Erone era già nota ad Archimede che senza dubbio ne aveva dato una dimostrazione ;
tuttavia la dimostrazione che è contenuta nella "Metrica" di Erone è la più
antica che conosciamo.
Sebbene oggi tale formula venga dimostrata per via
trigonometrica , la dimostrazione di Erone è geometrica.
Erone era interessato a tutte le misurazioni : la
legge di riflessione della luce era già nota sia a Eudosso sia ad Aristotele , ma fu
Erone che mostrò ,mediante un semplice ragionamento geometrico , nell'opera
"Catottrica" (o riflessione) che l'uguaglianza degli angoli di incidenza e di
riflessione era una conseguenza del principio aristotelico secondo cui la natura sceglie
sempre la via più facile: ossia se la luce deve viaggiare da una sorgente S ad uno
specchio MM' e poi all'occhio di un osservatore E , la traettoria più breve SPE è quella
in cui gli angoli SPM e EPM' sono uguali. (fig.1)
Mentre
i Greci portavano ai più alti livelli le conoscenze dell'intelligenza umana, si era
sviluppata prodigiosamente la potenza di uno strano popolo , originariamente fatto di
pastori e di cacciatori : la gente di Roma.
Le fiorenti colonie della Magna Grecia e della
Sicilia , Cartagine , Atene e le città etrusche caddero preda delle aquile romane
La nuova nazione dominatrice , che si era dimostrata
invincibile nellarte delle armi ed insuperabile nella capacità di legiferare , non aveva
alcuna attitudine a coltivare la filosofia o la matematica.
Roma sfornò generali e condottieri, giuristi e
storici, ingegneri in grado di realizzare formidabili opere , anche poeti per cantare le
glorie e gli eroi , ma non cervelli capaci di dedicarsi alla speculazione pura.
Lo riconobbe lo stesso Cicerone : I matematici greci
furono eccelsi nel campo della geometria pura,mentre noi ci siamo limitati alla pratica
delle misure e del calcolo utile.
I romani contavano impiegando una numerazione in
base 10 , avevano i loro segni di operazioni e scrivevano i numeri impiegando lettere
dellalfabeto .
Ma per le frazioni usavano le parti di una unità di
misura divisa in 12 , 144,288,576 parti , così come per le suddivisioni monetarie :
AS =1 ; uncia =1/12 ; drachma=1/96 ; obulus=1/576 ;
per le altre frazioni si dovrà aspettare l'anno Mille dopo Cristo
Nell'Era argentea
dal 250 al 350 d.C. ,nota anche come Tarda Età Alessandrina , troviamo il più grande
algebrista greco , Diofanto di Alessandria
Ben poco si sa
della vita di Diofanto tranne una leggenda raccontata in una raccolta di problemi
risalente al V o VI secolo , nota come Antologia Greca :
Dio gli
concesse di rimanere fanciullo per un sesto della sua vita e trascorso un altro dodicesimo
,Egli gli coperse le guance di peluria ; dopo un settimo della sua vita Egli gli accese la
fiaccola del matrimonio e cinque anni dopo il matrimonio gli concesse un figlio. Purtroppo
questo bambino nato dopo tanto tempo fu sfortunato : dopo aver raggiunto la metà della
vita di suo padre , fu portato via da un destino crudele .Dopo aver consolato il proprio
dolore con la scienza dei numeri per quattro anni , pose termine alla propria vita
Se questo
indovinello è storicamente giusto Diofanto visse fino ad ottantaquattro anni
( 1/6 x+1/12
x+1/7 x +5 +1/2x +4 = xx=84 )
L'opera
principale di Diofanto a noi nota è laArithmetica
un trattato in tredici libri di cui ci sono pervenuti solo i primi sei
La datazione
dei documenti matematici di origine cinese è tutt'altro che facile e le valutazioni
concernenti il Chou Pei Suan Ching , generalmente considerato il più antico testo
classico di argomento matematico , differiscono di quasi un millennio.
Il problema della sua datazione è complicato dal
fatto che esso può essere stato l'opera di parecchi scienziati di periodi differenti :
alcuni ritengono che risalga al 1200 a.C. altri al 1° secolo a.C. altri al
III sec.a.C.
Il Chou Pei mostra come anche in Cina , analogamente
a ciò che Erodoto aveva affermato a proposito dell'Egitto , la geometria era nata dalla
misurazione : e come nella Babilonia , anche nella Cina la geometria era essenzialmente
soltanto un esercizio di aritmetica e di algebra . Sembra che nel Chou Pei sia
riscontrabile qualcosa di simile al teorema di Pitagora, che veniva trattato
algebricamente dai cinesi .
A sinistra una dimostrazione di un
caso particolare del teorema di Pitagora relativa ad un triangolo di cateti
3 e 4 con l'ipotenusa di lunghezza 5.
A destra la verifica sperimentale del
teorema di Pitagora applicato ad un qualsiasi triangolo rettangolo: usando
una canna di bambù piegata dal vento, conoscendo la lunghezza della
parte appoggiata al muro e la distanza della canna piegata dal muro si
calcola la lunghezza della parte piegata (ossia dell'ipotenusa)
Un altro caso particolare del teorema
di Pitagora
Quasi altrettanto antico quanto il Chou Pei era il
Chui chang suanshu ossia I nove capitoli dell'arte matematica: questo libro comprende 246
problemi riguardanti l'agrimensura , l'agricoltura , l'ingegneria , il calcolo , la
soluzione di equazioni e le proprietà dei triangoli rettangoli.
Mentre i greci di questo periodo componevano
trattati in cui l'esposizione era sistematica e ordinata , i cinesi ripetevano l'antico
metodo degli egiziani e dei babilonesi consistente nella compilazione di serie di problemi
specifici, usando anche il metodo della falsa posizione.
I cinesi
avevano una predilezione per gli schemi: pertanto non meraviglia che il primo esempio di quadrato
magico compaia nella matematica cinese.
Un esempio di quadrato magico:
4 9
2
3 5
7
8 1
6
La somma di ogni riga o colonna o
diagonale è sempre 15
Costruzione di un quadrato magico di
ordine 3 con le cifre da 1 a 9
La somma delle cifre da 1 a 9 è 45 che
diviso per 3 dà 15 e questa è la somma delle righe , colonne e diagonali.
In una matrice di ordine 3 la cifra al
centro appartiene a 2 righe e 2 diagonali, quindi in totale 4 incroci, la
cifra in uno dei 4 vertici si trova in 3 incroci(1 riga, 1 colonna, 1
diagonale), la cifra al centro di una riga o di una colonna si trova in 2
incroci (1 riga e 1 colonna).
Siccome le cifre possono essere
così abbinate:
5
+ (1;9) (2;8) (3;7) (4;6)
4 incroci quindi al centro
4
+ (2;9) (3;8) (5;6)
3 incroci quindi in un vertice
6
+ (1;8) (2;7) (4;5)
3 incroci quindi in un vertice
2
+ (4;9) (5;8) (6;7)
3 incroci quindi in un vertice
1
+ (5;9) (6;8)
2 incroci quindi al centro di un lato
3
+ (4;8) (5;7)
2 incroci quindi al centro di un lato
7
+ (2;6) (3;5)
2 incroci quindi al centro di un lato
9
+ ( 1;5) (2;4)
2 incroci quindi al centro di un lato
4 9
2
3 5
7
8 1
6
Laboratorio
Questo programma in Turbo Pascal verifica se
una particolare matrice quadrata di ordine 3 sia un quadrato magico .
program cinese;
type mat=array[1..3,1..3] of real;
vett=array[1..3] of real;
var i,j:integer;
d1,d2:real;
a:mat;
r,c:vett;
magico:boolean;
begin
clrscr;
magico:=true;
for i:=1 to 3 do
for j:=1 to 3 do
readln(a[i,j]);
for i:=1 to 3 do
begin
for j:=1 to 3 do
write(a[i,j]:8:0);
writeln;
end;
for i:=1 to 3 do
begin
r[i]:=0;
for j:=1 to 3 do
r[i]:=r[i] +a[i,j] ;
writeln('r(',i,')=' ,r[i]:4:0);
if (r[i]>15)or (r[i]<15) then magico:=false;
end;
for j:=1 to 3 do
begin
c[j]:=0;
for i:=1 to 3 do
c[j]:=c[j] +a[i,j] ;
writeln('c(',j,')=',c[j]:4:0);
if (c[j]>15)or (c[j]<15) then magico:=false;
end;
d1:=0;
d2:=0;
for i:=1 to 3 do
begin
d1:=d1 +a[i,i] ;
d2:=d2+a[i,4-i];
end;
writeln(' d1=',d1:4:0);
if (d1<15)or(d1>15) then magico:=false;
if (d2<15)or(d2>15) then magico:=false;
writeln(' d2=',d2:4:0);
if magico then writeln('questo Š un quadrato
magico')
else writeln('questo non è un quadrato magico');
end.
L'abaco
Nel 300 a.C.
funzionari dell'amministrazione si portavano appresso in una borsetta bastoncini di bambù
o di avorio per fare calcoli.
L'abaco, formato da una cornice rigida con palline
mobili infilate su fili di ferro , cominciò ad essere usato molto più tardi : le prime
descrizioni dell'abaco cinese detto suan phan risalgono al XVI secolo.
Il termine abaco deriva dalla parola semitica abq
che significa polvere: ciò fa pensare all'uso di una bacinella contenente polvere usata
come tavoletta per il calcolo.
Erodoto scriveva : Gli egiziani nel fare il calcolo
muovono la mano da destra a sinistra , mentre i greci la muovono da sinistra a destra
alludendo probabilmente all'uso di una tavoletta di calcolo come in Cina
Nell'opera
"Prezioso specchio" che conclude l'Età aurea della matematica cinese compare il
triangolo cosiddetto di Tartaglia per il calcolo dei coefficienti
delle potenze di un binomio fino all'ottava potenza .
Per tutta
l'Età Ellenistica Alessandria rimase il centro degli studi matematici , ma il più grande
matematico di quell'Età, Archimede , non era nato ad Alessandria .
Forse Archimede studiò ad Alessandria per un certo
periodo di tempo, sotto la guida dei discepoli di Euclide , tuttavia visse e morì a
Siracusa .
Durante la II guerra punica ,la città di Siracusa
venne coinvolta nel conflitto tra Roma e Cartagine ed essendosi schierata dalla parte di
quest' ultima venne assediata dai romani dal 214 al 212 a.C.
Si dice che durante l'assedio Archimede abbia
inventato ingegnose macchine da guerra per tenere lontano il nemico: catapulte
,dispositivi per sollevare navi , sviluppare incendi .
Alla fine però Siracusa cadde nelle mani dei romani
e durante il saccheggio della città Archimede venne trucidato da un soldato romano ,
nonostante Marcello avesse dato ordini di salvare la vita del matematico.
Poiché Archimede aveva 75 anni all'epoca , si
deduce che era nato intorno al 287 a.C.
Suo padre era un astronomo ed anche Archimede si
fece una certa fama nel campo dell'astronomia.
Archimede non fu il primo a far uso della leva e
nemmeno il primo a formularne il principio generale . Alcuni scritti aristotelici
contengono il principio secondo cui due pesi posti su di una bilancia si fanno equilibrio
quando sono inversamente proporzionali alle rispettive distanze dal fulcro.
Gli studi di Archimede sul principio della leva
fanno parte del suo trattato , in due libri "Sull'equilibrio dei piani "questo
non è il più antico libro esistente su quella che potremmo chiamare scienza fisica ,
infatti Aristotele , circa un secolo prima , aveva pubblicata un'opera molto nota in 8
libri , intitolata "Fisica "
Ma mentre il metodo di Aristotele era speculativo e
non-matematico , quello di Archimede era simile a quello adoperato da Euclide , basato su
postulati . Nel trattato in 2 libri" Sui galleggianti" espone il noto principio
di Archimede conosciuto a scuola:
Lib.1 Prop.5~: Qualsiasi solido più leggero di
un fluido, se collocato nel fluido , si immergerà in misura tale che il peso del solido
sarà uguale al peso del fluido spostato .
Lib 1 Prop.7~: Un solido più pesante di un fluido ,
se collocato in esso , discenderà in fondo al fluido e se si peserà il solido nel
fluido, risulterà più leggero del suo vero peso e la differenza di peso sarà uguale al
peso del fluido spostato.
Fu uomo
di ingegno anche in geometria.
Nel suo calcolo approssimato del rapporto tra
la circonferenza ed il diametro , Archimede dette un'ulteriore prova della sua abilità
nel calcolo arrivando a calcolare il perimetro del poligono regolare di 96 lati ed un
valore approssimato di p compreso tra 3,1408 e 3,1428 ( Archimede non adoperò mai
la notazione p) (Nel trattato Sulla misurazione del cerchio)
Aneddoti
La deduzione
matematica del principio che regola il comportamento dei corpi galleggianti fu
indubbiamente la scoperta che fece balzar fuori dal bagno il distratto Archimede che corse
a casa nudo gridando Eureka
( L'ho trovato )
Può anche darsi che tale principio lo abbia aiutato
a verificare l'onestà di un orefice sospettato di aver sostituito con dell'argento l'oro
di una corona, fabbricata per il re Gerone di Siracusa ,amico se non parente di Archimede.
La frode fu scoperta confrontando la densità dell'oro ,dell'argento e della corona ,
misurando gli spostamenti di acqua quando pesi uguali di ciascuna sostanza vengono immersi
uno alla volta in un recipiente colmo d'acqua
Un altro aneddoto riguarda la sua abilità di
ingegnere: si racconta che una volta il re Gerone aveva fatto costruire una nave che era
troppo pesante per essere varata: ma Archimede , combinando leve e carrucole riuscì
nell'impresa.
Un ultimo aneddoto relativo alla nota formula per
calcolare il volume della sfera: La proposizione compare nel libro 1 prop.34 del trattato
Sulla sfera e sul cilindro
Qualsiasi sfera è uguale a 4 volte il cono che
ha la base uguale al cerchio massimo della sfera e l'altezza uguale al raggio della sfera.
Come semplice corollario ne segue il rapporto
archimedeo tra i volumi e le aree della sfera e del cilindro circoscritto~
La figura di una sfera inscritta in un cilindro
venne effettivamente incisa sulla tomba di Archimede , come sappiamo dalla testimonianza
di Cicerone. Quando era questore in Sicilia , l'oratore romano rintracciò la tomba sulla
quale era ancora visibile l'incisione e la fece restaurare , ma da allora ne è scomparsa
ogni traccia.
Laboratorio
Georg Cantor
Lobacevskij(1793-1856)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
David Hilbert (1862-1943 )
Giuseppe Peano(1858-1932)
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Lagrange(1736-1813)
Eulero (1707-1783)
Isaac Newton (1642-1727)
dedicati alla Royal Society,di cui fu eletto presidente nel 1703.In quest'opera egli espose la sua teoria sulla gravitazione universale:immaginò che fra i corpi si esercitassero forze attrattive che dipendevano solo dalla quantità di materia di cui i corpi erano costituiti e dalla loro distanza.Queste forze modificavano lo stato di moto e di quiete dei corpi,sottoponendoli ad una accelerazione proporzionale alla loro intesità .Newton riuscì a riassumere tali idee formulando la legge di gravitazione universale e i principi della dinamica.
Gottfrie Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Laboratorio
Blaise Pascal (1623-1662)
Laboratorio
Gli indiani
annuncia di aver dimostrato l'ultimo
teorema di Fermat .
, appassionatasi
alle sue opere.Si era nel 1646, ma solo 3 anni dopo Cartesio accettò l'invito .
Nepero
Leonardo Pisano detto 
Nicolò 
